Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества – множества в которых есть наименьший элемент.

_____________________________

1. Задание множеств. Упорядоченность. Равенство множеств

Задание множеств

Множество – это совокупность, система, класс, ансамбль, собрание, коллекция и т.д. Однако все это было бы не математическим определением, а, скорее всего, затушевыванием смысла, так как нам необходимо было бы сказать, что такое совокупность, система или класс. Поэтому вместо точного определения множества мы обратимся к примерам, поясняющим его смысл.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве предметов, находящихся на столе, множестве студентов, присутствующих в данный момент в аудитории, множестве звезд, наблюдаемых на небе, множестве всех точек, равноудаленных от данной, множестве всех клеток человеческого организма и т.д. Человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект. Совокупность кофейника, молочника, сахарницы, шести чашек и блюдец мы называем сервизом. Буквы А, Б, В, Г, Д и т.д. объединяем в алфавит. Не случайно каждую из этих совокупностей мы называем существительным в единственном числе: сервиз, алфавит - идея объединения проглядывает даже в такой мелочи.

Основное и самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных объектов в одно целое.

Основатель теории множеств немецкий математик и философ Георг Кантор писал: «Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона»^[1]. Перефразируя Кантора, можно сказать, что множество — любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Природа таких объектов может быть совершенно любой. Это могут быть числа, функции, книги, молекулы, высказывания, сами множества. Соединенные Штаты Америки – множество из 50 элементов – штатов, каждый из которых, в свою очередь, есть множество округов. Объекты множества могут даже и не существовать реально. В богословских трактатах изучались множество ангелов, помещающихся на острие иглы, множество злых духов и т.д.

Трактовка слова «множество» в обыденном языке отличается от математической, ибо подразумевает некоторое изобилие. В математике этот термин такого оттенка совсем не имеет. Множество может состоять из двух элементов (например, множество естественных спутников Марса – Фобос и Деймос), может состоять из одного элемента (множество естественных спутников Земли – Луна), может вообще не иметь элементов (об этом речь пойдет далее).

Существенными в понятии множества являются следующие признаки:

1.            Объекты, входящие во множество, определенные. Это означает, что для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет.
2.            Объекты, входящие во множество, различимы между собой. Следовательно, во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов.

3.           Все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое. Множества обычно обозначают прописными курсивными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. Для наиболее важных числовых множеств приняты постоянные обозначения. Множество натуральных чисел стандартно обозначается буквой N, множество целых чисел – С, множество  действительных чисел – буквой R. Эти множества широко используются в школьном курсе математики.

Объекты, составляющие данное множество, называют егоэлементамии обозначают строчными курсивными буквами латинского алфавита:а, x, y.

Первый способ –явныйилиперечислительный– состоит в простом перечислении всех элементов, в совокупности составляющих данное множество X: X={2, 3}.

Согласно определению, во множестве не бывает одинаковых элементов. Поэтому запись{2, 2, 3} считается некорректной. Ее необходимо заменить на следующую {2, 3}. Порядок следования элементов во множестве роли не играет. Поскольку {2, 3, 4} и {4, 3, 2} состоят из одних и тех же элементов, они задают одно и то же множество.

В тех случаях, когда множество содержит много элементов, такой способ оказывается неудобным. Кроме того, при таком задании множества остается замаскированным сам принцип его образования.

Второй способ задания состоит в том, что мы указываем условие, по которому выбираем эти и только эти элементы в множество, признак, характеризующий все элементы множества. Такой способ называетсяописательным. В этом случае для задания множестваX c элементами x применяется следующая запись: X={x | признак}.

Пусть  M, — частично упорядоченное множество. Если в M любые два элемента сравнимы, то множество M называется линейно упорядоченным (англ. linearly ordered set). Линейно упорядоченное множество также называют совершенно упорядоченным (англ. totally ordered set), или просто, упорядоченным множеством[3]. Таким образом, в линейно упорядоченном множество для любых двух элементов a и b имеет место одно и только одно из соотношений: либо a<b, либо a=b, либо b<a.