35. Алгебраические структуры - Шпоры по дисмату - Каталог статей

Среда, 23.07.2025, 06:48	Приветствую Вас Гость \| RSS
Шпоры сук
	Главная \| Каталог статей \| Регистрация \| Вход

Меню сайта

Категории раздела

Шпоры по дисмату [36]

Физика [13]

Статистика

Онлайн всего: 1

Гостей: 1

Пользователей: 0

Главная » Статьи » Шпоры по дисмату

35. Алгебраические структуры

Множество векторов в пространстве с операцией сложения векторов, операцией векторного умножения, множество квадратных матриц с операциями сложения или умножения, множество функций с операцией сложения — вот примеры некоторых множеств с операциями, рассматривающихся в различных разделах математики. Выясним, что общего есть в свойствах операций на этих множествах и в чем их различие.

Определение 2.1. Пусть $A$ — произвольное непустое множество и $n$ — натуральное число. Любое отображение $\omega\colon A^n\to A$ называют n-арной (или n-местной) операцией на множестве $A$ .

Таким образом, согласно приведенному определению, n-арная операция и каждому кортежу $(a_1,\ldots,a_n)\in A^n$ однозначно сопоставляет элемент $b\in A$ . Компоненты кортежа называют при этом аргументами операции $\omega$ , а $b$ — результатом применения операции и к аргументам $a_1,\ldots,a_n$ .

Для n-арной операции используют обозначение

$b=\omega (a_1,\ldots,a_n)$ или $b= a_1\ldots a_n\omega$ .

Обычно, если $n=2$ , пишут $a_1\omega a_2$ . При $n=1$ и $n=2$ говорят соответственно об унарной операции и бинарной операции.

Специально вводят понятие нульарной операции (т.е. для $n=0$ ). Под нульарной операцией на множестве $A$ понимают произвольный фиксированный элемент множества $A$ . Нульарные операции позволяют фиксировать элементы множества $A$ , обладающие некоторыми специальными свойствами. Примером выполнения нульарной операции является, например, фиксирование нуля в множестве целых чисел с операцией сложения. Примером унарной операции служит дополнение заданного множества до универсального множества.

Наиболее важными в алгебре и, следовательно, наиболее исследованными являются бинарные операции. Примерами таких операций могут служить сложение и умножение чисел, сложение и умножение матриц, сложение векторов линейного пространства.

Рассмотрим бинарную операцию на множестве $A$ , обозначив ее звездочкой $(\ast)$ . Эту операцию называют:

1) ассоциативной, если $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ для любых $x,y,z\in A$ ;
2) коммутативной, если $x\ast y=y\ast x$ для любых $x,y\in A$ ;
3) идемпотентной, если $x\ast x=x$ для любого $x\in A$ .

Ассоциативность операции $\ast$ позволяет для любых элементов $a_1,a_2,\ldots,a_n\in A$ однозначно трактовать результат выражения $a_1\ast a_2\ast \ldots\ast a_n$ , так как

$a_1\ast a_2\ast \ldots\ast a_n= a_1\ast (a_2\ast \ldots\ast a_n)= (a_1\ast a_2)\ast (a_3\ast \ldots\ast a_n)= (a_1\ast \ldots\ast a_{n-1})\ast a_n\,.$

Операция сложения, заданная на множестве натуральных чисел, является ассоциативной и коммутативной. Операция умножения матриц ассоциативна, но не коммутативна. Идемпотентными являются операции объединения и пересечения множеств.

Элемент $\bold{0}$ множества $A$ называют левым (правым) нулем относительно данной операции $\ast$ , если $\bold{0}\ast x=\bold{0}$ $(x\ast\bold{0}=\bold{0})$ для любого $x\in A$ .

Если $\bold{0}'$ — левый нуль, а $\bold{0}''$ — правый нуль, то они совпадают. Действительно, если $\bold{0}'$ и $\bold{0}''$ существуют, то они совпадают, так как $\bold{0}'= \bold{0}'\ast \bold{0}''= \bold{0}''$ , и в этом случае говорят просто о нуле относительно операции. Из приведенных равенств следует, что нуль единственный и для него одновременно выполнены оба равенства $\bold{0}\ast x= \bold{0}$ и $x\ast \bold{0}= \bold{0}$ .

Пример 2.1. а. На множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ нулем относительно операции умножения будет число 0.

б. На множестве квадратных матриц вида $\begin{pmatrix}a&0\\b&1\end{pmatrix}$ , где элементы $a$ и $b$ — действительные числа, любая матрица вида $\begin{pmatrix} 0&0\\d&1 \end{pmatrix}$ будет правым нулем относительно операции умножения, поскольку

$\begin{pmatrix}a&0\\b&1\end{pmatrix}\! \cdot\! \begin{pmatrix}0&0\\d&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\d&1\end{pmatrix}\!.$

Однако левого нуля в этом множестве нет, так как иначе он совпадал бы с правым нулем и был бы единственным. Но правых нулей имеется больше одного.

Категория: Шпоры по дисмату | Добавил: DmitryMax (18.06.2014)

Просмотров: 441 | Рейтинг: 0.0/0

Всего комментариев: 0

Форма входа

Поиск